domov / veda / matematika / Ako riešiť diferenciálne lineárna rovnica

Ako riešiť diferenciálne lineárna rovnica

/
73 pohľady

Ako riešiť diferenciálne lineárna rovnica</a>

Diferenciálne rovnice, v ktorom neznáma funkcie a jeho derivát zahŕňa lineárne, to znamená, že prvý stupeň, ktorý sa nazýva lineárna diferenciálne rovnice prvého poriadku.

inštrukcia

    1

Všeobecný pohľad prvého poriadku lineárnej diferenciálnej rovnice:

y? + P (x) * y = f (x),

kde y - neznáma funkcie a p (x) a f (x) -Niektoré uvedené funkcie. Sú považované za spojité v oblasti, v ktorej chcete integrovať rovnice. Najmä môžu byť konštanty.

    2

Ak f (x)? 0, potom rovnica sa nazýva odnorodnym- ak nie - potom sa, v uvedenom poradí, nehomogénne.

    3

Lineárne homogénne rovnice môže byť riešený separácie premenných. Jeho všeobecný tvar: y? + P (x) * y = 0, teda:

dy / dx = -p (x) * y, čo znamená, že dy / y = -p (x) dx.

    4

Integrácia oboch stranách výslednej rovnice, dostaneme:

? (Dy / y) = -? P (x) dx, to znamená, že ln (y) = -? P (x) dx + ln (C), alebo y = C * e ^ (- P (x) dx) ).

    5

Riešenie nehomogénne lineárne rovnica môže byťodstúpiť od roztokov zodpovedajúcej homogénna, to znamená, že rovnaké rovnice s pravou stranou pokleslou f (x). K tomu, nahradiť konštantný C v roztoku homogénnej rovnice neznáme funkcie? (X). Potom sa roztok nehomogénne rovnice budú prezentované vo forme:

? Y = (x) * e ^ (- P (x) dx)).

    6

Rozlíšenie tohto výrazu, vidíme, že derivát y je:

y? = ?? (x) * e ^ (- P (x) dx) -? (X) * p (x) * e ^ (- P (x) dx).

Dosadením výrazov pre y a y? do pôvodnej rovnice a zjednodušenie ľahko získať dospela k výsledku:

d? / dx = f (x) * e ^ (? p (x) dx).

    7

Po integrácii oboch stranách nej dostane druh:

? (X) =? (F (x) * e ^ (P (x) dx)) dx + C1.

To znamená, že neznáma funkcia y je vyjadrená ako:

y = e ^ (? - p (x) dx) * (C + f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

    8

Ak budeme porovnávať konštantný C na nulu, potom výraz pre y môžu získať konkrétne riešenia danej rovnice:

y1 = (e ^ (? - p (x) dx)) * (f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

Potom, kompletné riešenie, možno vyjadriť ako:

y = y1 + C * e ^ (? - p (x) dx)).

    9

Inými slovami, kompletné riešenie lineárnehonehomogénne diferenciálne rovnice prvého poriadku je rovný súčtu ich konkrétne riešenie a všeobecné roztoku zodpovedajúce homogénna lineárna rovnica prvého rádu.

Ako riešiť diferenciálne lineárna rovnica To bol naposledy upravený: 21.júna 2017 podľa vashuorm
Je to hlavná vnútorná nádoba text päty